Вигин (механіка). Вигин Вигин бруса великої кривизни

вигин, кривизна річки

Вигин краю сідла

Чоловіче ім'я (лат. світлоносний)

Вигин річки

Персонаж п'єси "На дні"

Вигин морського берега

. "Кривуля" на річці

. "Нісок" кінського сідла

Виступ сідла

Герой п'єси "На дні"

Герой, "На дні"

Гнутий виступ сідла

Дугоподібний поворот річки

Євангеліст

Ж. вигин, загинув, кривизна, закрут; заворот річки, дуга; низовинний і травний або лісистий мис; луг, що обіймається річкою. Іноді цибуля приймається, назад, у значенні затоки, затоки, заплав або це новорос. травна лощина, луг. Сідельна цибуля дві, передня і задня. Мотри, підгрій до цибулі не примерзни! дражнять ніжку. Церков. лукавство, кривизна душі. Лука річки, як і коліно, лікоть, іноді говорять замість плесо, тобто не вигин, а пряме русло між вигинами. Лука річки (дуга), цибуля, козуб (гнуте, гнутий), цибуля (гнута, тобто мече стріли), лукати і ін. загального кореня. Лук м. цибулька, зігнута в дугу смуга; пружна смуга, дерев'яна, рогова, сталева, що напружується тятивою, для пускання стріл. Лучок із прикладом, самостріл; цибулька з подвійною тятивою, для метання глиняних куль, казарга. Лучок токарний, свердлильний, рід смичка, яким крутять снаряди взад і вперед. Цибуля пили, залізний верстат для неї. Цибуля рибальська, кармак, уда на білорибицю. Шерстобитна цибуля або цибулька, триаршинна жердина з кобилкою і тятивою, якою пушать, б'ють шерсть, ударяючи по ній катеринкою, калатушкою. Дуга, дужка, підлога-обруч, гнутий, напр. на кибитці. Цибуля на косі, гак, грабок, грабки, граблі для хліба. Мережа для лову співочих пташок (схованка перекидається на двох паличках, цибулька на пів-обручі). Прилад у упряжці коноводних коней. Новг. окреме місцедля мандрівників, на човні-тихвинці, під дахом, настеленим по дугах. кінного солдата ноги цибулькою. Кому до чого, а стрілку до лука. Тугий лук, то серцевий друг. Цибуля, що цар, стріли, що посланці. Цибуля добро і до бою, і в щах (гра слів). Плуг годує, а цибуля (зброя) псує, старий. про мужика, солдата. З цибулі не ми, з пищали не ми, а попити, потанцювати, проти нас не знайти! Невелика цибуля, та туг. Як із лука стріла. Наче з цибулі сховав. Обидва луки, обидва туги. Цибуля, старий. міра землі; на сівбу. дві обжи,

Загин річки

Вигин морського берега

Вигин річки

Вигин річки чи сідла

Вигин русла

Вигин сідла

Закрут річки

Ім'я італійського художника Синьореллі

Ім'я якогось біблійного персонажа перекладається з латинського як "світло"

Колега Матвія з євангелії

Колега Матвія, Марка та Іоанна

Крута звивина русла річки з кінцями, що близько сходяться у перешийка.

Крутий вигин річки

Хто з євангелістів зображується у вигляді тільця

Миротворець у п'єсі "На дні"

Морський вигин

Чоловіче ім'я

Чоловіче ім'я, що римується з букою

Чоловіче ім'я: (латинське) світлоносний

Один із євангелістів

Персонаж "На дні"

Поворот річки

Поворот сідла

Річне викривлення

Російський мореплавець, що відкрив морський прохід із Північної Двіни до Північної Норвегії (XIV ст.)

Самарська на Волзі

Супутник апостола Павла

Хороше ім'я для російського мужика

Частина сідла

Головний миротворець у п'єсі Горького "На дні"

Персонаж п'єси Горького "На дні"

Мандрівник у п'єсі "На дні"

Виступаючий вигин переднього або заднього краю сідла

Втішник

Мудищев

Персонаж п'єси А. П. Чехова "Ведмідь"

Персонаж твору Ж. Мольєра "Лікар мимоволі"

Грек із євангелістів

Річковий вигин

Вигин річкового русла

Вигин узбережжя

Закрут сідла

Загогуліна сідла

Гнутий борт сідла

Ім'я Хлопова у "Ревізорі"

Вигнутий виступ сідла

Чим не ім'я для російського чоловіка

Російське чоловіче ім'я

Чоловіче ім'я, що римується з борошном

Придатний. російському хлопцеві ім'я

Дугоподібний вигин річки

Вигин вид деформації, при якому відбувається викривлення осей прямих брусів або зміна кривизни осей кривих брусів. Вигин пов'язаний з виникненням у поперечних перерізах бруса згинальних моментів. Прямий вигин виникає у разі, коли… … Вікіпедія

Вигин- – деформація деталі у напрямку перпендикулярному його осі. [Блюм Е. Е. Словник основних металознавчих термінів. Екатеринбург 2002] Вигин - деформація, що виникає в балках, плитах перекриттів, конструкціях, що захищають під ... Енциклопедія термінів, визначень та пояснень будівельних матеріалів

Брус, деформований стан, що виникає в брусі під дією сил і моментів, перпендикулярних його осі, і супроводжується її викривленням (про І. платівки та оболонки (див. ПЛАСТИНКИ, ОБОЛОНКА)). Виникають при І. в поперечному перерізі бруса. Фізична енциклопедія

ВИГИБ, вигину, чоловік. 1. Дугоподібне викривлення, закруглений злам, вигадливий поворот. На вигині річки. Гарний вигин лебединої шиї. Вигин дороги. «Їх (сосен) коріння вигадливими вигинами лежали, як сірі мертві змії.» Максим Горький. 2. перен … Тлумачний словникУшакова

вигин- ВИГИБ, звив, звивина, виворот, злам звивистий, зміїстий, згинальний, променистий, петлистий … Словник-тезаурус синонімів російської мови

У опорі матеріалів вид деформації, що характеризується викривленням (зміною кривизни) осі або серединної поверхні елемента (балки, плити тощо) під дією зовнішнього навантаження. Розрізняють вигини: чистий, поперечний, поздовжній, … Великий Енциклопедичний словник

ВИДІБ, а, чоловік. Дугоподібне викривлення. І. річки. Вигини душі (перен.). Тлумачний словник Ожегова. С.І. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Тлумачний словник Ожегова

Напружений стан стрижня або бруса, що супроводжується викривленням, порівняно з його первісною формою. Розрізняють поперечний І., що відбувається під дією навантажень, спрямованих у більшості випадків перпендикулярно до осі стрижня, і… Технічний залізничний словник

вигин- Вид деформації тіла, що виражається у зміні його кривизни в одному або кількох напрямках [Термінологічний словник з будівництва 12 мовами (ВНДІІС Держбуду СРСР)] Довідник технічного перекладача

ВИГИБ- вид, при якій вісь або серединна поверхня балки, стрижня, пластини викривляється під дією зовнішніх сил або температури. Найбільшу напругу відчувають зовнішні шари на опуклій стороні об'єкта, що деформується. Деформацією балки при … Велика політехнічна енциклопедія

Книги

• Кручення та вигин тонкостінних авіаконструкцій, Уманський А.А. Кручення та вигин тонкостінних авіаконструкцій Відтворено в оригінальній авторській орфографії видання 1939 (видавництво "Оборонпром").
• Поздовжній вигин. Кручення, А. Н. Динник. Публіковані в цьому томі праці академіка А. Н. Динника "Поздовжній вигин. Кручення", будучи настільною книгою для інженерів, нині є бібліографічною рідкістю. Це…

Деформація вигинуполягає у викривленні осі прямого стрижня або зміні початкової кривизни прямого стрижня (рис. 6.1). Ознайомимося з основними поняттями, що використовуються під час розгляду деформації вигину.

Стрижні, що працюють на вигин, називають балками.

Чистимназивається вигин, при якому згинальний момент є єдиним внутрішнім силовим фактором, що виникає в поперечному перерізі балки.

Найчастіше, у поперечному перерізі стрижня поряд із згинальним моментом виникає також і поперечна сила. Такий вигин називають поперечним.

Плоським (прямим)називають вигин, коли площина дії згинального моменту в поперечному перерізі проходить через одну з головних центральних осей поперечного перерізу.

При косому вигиніплощина дії згинального моменту перетинає поперечний переріз балки по лінії, що не збігається з жодною з головних центральних осей поперечного перерізу.

Вивчення деформації вигину почнемо з нагоди чистого плоского вигину.

Нормальні напруги та деформації при чистому згині.

Як уже було сказано, при чистому плоскому згині в поперечному перерізі з шести внутрішніх силових факторів не дорівнює нулю тільки згинальний момент (рис. 6.1, в):

Досліди, поставлені на еластичних моделях, показують, що якщо на поверхню моделі нанести сітку ліній (рис. 6.1 а), то при чистому згині вона деформується наступним чином(Рис. 6.1, б):

а) поздовжні лінії викривляються по довжині кола;

б) контури поперечних перерізів залишаються пласкими;

в) лінії контурів перерізів усюди перетинаються з поздовжніми волокнами під прямим кутом.

На підставі цього можна припустити, що при чистому згинанні поперечні перерізи балки залишаються плоскими і повертаються так, що залишаються нормальними до вигнутої осі балки (гіпотеза плоских перерізів при згинанні).

Мал. 6.1

Вимірюючи довжину поздовжніх ліній (рис. 6.1 б), можна виявити, що верхні волокна при деформації вигину балки подовжуються, а нижні укорочуються. Очевидно, що можна знайти такі волокна, довжина яких залишається незмінною. Сукупність волокон, що не змінюють своєї довжини при згинанні балки, називається нейтральним шаром (н. с.). Нейтральний шар перетинає поперечний переріз балки по прямій, яка називається нейтральною лінією (н. л.) перерізу.

Для виведення формули, що визначає величину нормальних напруг, що виникають у поперечному перерізі, розглянемо ділянку балки в деформованому та не деформованому стані (рис. 6.2).

Мал. 6.2

Двома нескінченно малими поперечними перерізами виділимо елемент завдовжки
. До деформації перерізу, що обмежують елемент
, були паралельні між собою (рис. 6.2 а), а після деформації вони дещо нахилилися, утворюючи кут
. Довжина волокон, що лежать у нейтральному шарі, при згинанні не змінюється
. Позначимо радіус кривизни сліду нейтрального шару на площині креслення буквою . Визначимо лінійну деформацію довільного волокна
, що знаходиться на відстані від нейтрального шару.

Довжина цього волокна після деформації (довжина дуги
) дорівнює
. Враховуючи, що до деформації всі волокна мали однакову довжину
, отримаємо, що абсолютне подовження волокна, що розглядається

Його відносна деформація

Очевидно, що
, оскільки довжина волокна, що лежить у нейтральному шарі, не змінилася. Тоді після підстановки
отримаємо

(6.2)

Отже, відносна поздовжня деформація пропорційна відстані волокна від нейтральної осі.

Введемо припущення, що при згинанні поздовжні волокна не натискають один на одного. При такому припущенні кожне волокно деформується ізольовано, відчуваючи простий розтяг або стиск, при якому
. З урахуванням (6.2)

, (6.3)

т. е. нормальні напруги прямо пропорційні відстаням розглянутих точок перерізу від нейтральної осі.

Підставимо залежність (6.3) у вираз згинального моменту
у поперечному перерізі (6.1)

.

Згадаймо, що інтеграл
являє собою момент інерції перерізу щодо осі

.

(6.4)

Залежність (6.4) є закон Гука при згині, оскільки вона пов'язує деформацію (кривизну нейтрального шару)
) з діючим у перерізі моментом. твір
носить назву жорсткості перерізу при згинанні, Н·м 2 .

Підставимо (6.4) у (6.3)

(6.5)

Це і шукана формула для визначення нормальних напруг при чистому згині балки в будь-якій точці її перерізу.

Для того, щоб встановити, де в поперечному перерізі знаходиться нейтральна лінія підставимо значення нормальних напруг у вираз поздовжньої сили
та згинального моменту

Оскільки
,

;

(6.6)

(6.7)

Рівність (6.6) вказує, що вісь - Нейтральна вісь перерізу - проходить через центр тяжіння поперечного перерізу.

Рівність (6.7) показує що і - Основні центральні осі перерізу.

Згідно з (6.5) найбільшої величини напруги досягають у волокнах найбільш віддалених від нейтральної лінії

Ставлення являє собою осьовий момент опору перерізу щодо його центральної осі , значить

Значення для найпростіших поперечних перерізів наступне:

Для прямокутного поперечного перерізу

, (6.8)

де - сторона перерізу перпендикулярна до осі ;

- сторона перерізу паралельна осі ;

Для круглого поперечного перерізу

, (6.9)

де - Діаметр круглого поперечного перерізу.

Умову міцності за нормальними напругами при згині можна записати у вигляді

(6.10)

Всі отримані формули отримані для чистого вигину прямого стрижня. Дія поперечної сили призводить до того, що гіпотези, покладені в основу висновків, втрачають свою силу. Однак практика розрахунків показує, що і при поперечному згинанні балок і рам, коли в перерізі крім згинального моменту
діє ще поздовжня сила
та поперечна сила , можна використовувати формули, наведені для чистого вигину. Похибка при цьому виходить незначною.

тобто напруги також розподілені за лінійним законом.

У перерізі балки (у плоскому випадку) виникають згинальний момент M x (\displaystyle M_(x)), поперечна сила Q y (\displaystyle Q_(y))і поздовжня сила N (\displaystyle N). На переріз діє зовнішнє розподілене навантаження q (\displaystyle q).

Розглянемо два суміжні перерізи, розташовані на відстані d z (\displaystyle dz)один від одного. У деформованому стані вони розгорнуті на кут d θ (\displaystyle d\theta)один щодо одного. Так як верхні шари розтягнуті, а нижні стиснуті, очевидно, що існує нейтральний шар, що залишається нерозтягнутим. На малюнку він виділений червоним. Зміна кривизни нейтрального шару записується так:

Збільшення довжини відрізка АВ, що знаходиться на відстані y (\displaystyle y)від нейтральної осі, виражається так:

Таким чином, деформація:

Силові співвідношення

Зв'яжемо напругу з силовими факторами, що виникають у перерізі. Осьова сила виражається так:

Інтеграл в останньому виразі є статичним моментом перерізу щодо осі. x (\displaystyle x). Прийнято брати як осі x (\displaystyle x)центральну вісь перерізу, таку, що

Таким чином, N = 0 (\displaystyle N = 0). Згинальний момент виражається так:

де J x = ∫ A. y 2 d A (\displaystyle J_(x)=\int \limits _(A)^(\color (White).)(y^(2))\,dA)- момент інерції перерізу щодо осі x (\displaystyle x).

Напруги в перерізі можуть також призводитися до моменту M y (\displaystyle M_(y)). Щоб цього не сталося, потрібне виконання умови:

тобто відцентровий момент інерції повинен дорівнювати нулю, і вісь y (\displaystyle y)має бути однією з головних осей перерізу.

Таким чином, кривизна вигнутої осі балки пов'язана з вигинальним моментом виразом:

Розподіл напруги по висоті перерізу виражається формулою:

Максимальна напруга у перерізі виражається формулою:

де W x = J x h 2 (\displaystyle W_(x)=(\frac (J_(x))(\frac (h)(2))))- момент опору перерізу вигину, h (\displaystyle h)- Висота перерізу балки.

Величини J x (\displaystyle J_(x))і W x (\displaystyle W_(x))для простих перерізів (круглий, прямокутний) обчислюються аналітично. Для круглого перерізу діаметром d (\displaystyle d):

J x = π d 4 64 (\displaystyle J_(x)=(\frac (\pi d^(4))(64)))

W x = π d 3 32 (\displaystyle W_(x)=(\frac (\pi d^(3))(32)))

Для прямокутного перерізу заввишки h (\displaystyle h)та шириною b (\displaystyle b)

J x = b h 3 12 (\displaystyle J_(x)=(\frac (bh^(3))(12)))

W x = b h 2 6 (\displaystyle W_(x)=(\frac (bh^(2))(6)))

Для складніших перерізів (наприклад, швелер , двутавр), мають стандартизовані розміри, ці величини наведено у довідковій літературі.

Згинальний момент у перерізі може бути отриманий методом перерізів (якщо балка статично визначима) або методами сил/переміщень.

Диференціальні рівняння рівноваги. Визначення переміщень

Основними переміщеннями, що виникають при згинанні, є прогини v (\displaystyle v)у напрямку осі y (\displaystyle y). Необхідно пов'язати їх із згинальним моментом у перерізі. Запишемо точне співвідношення, що зв'язує прогини та кривизну вигнутої осі:

Так як прогини та кути повороту передбачаються малими, то величина

є малою. Отже,

Запишемо рівняння рівноваги перерізу у напрямку осі y (\displaystyle y):

Запишемо рівняння рівноваги моментів щодо осі x (\displaystyle x):

Величина q d z d z 2 (\displaystyle q\,dz(\frac(\,dz)(2)))має 2-й порядок малості і може бути відкинута. Отже,

Таким чином, є 3 диференціальні рівняння. До них додається рівняння для переміщень:

У векторно-матричній формі система записується так:

Вектор стану системи:

Вектор зовнішнього навантаження:

Це диференціальне рівняння може бути використане для розрахунку багатоопорних балок із змінним по довжині моментом інерції перерізу та складним чином розподіленими навантаженнями. Для розрахунку простих балок застосовуються спрощені методи. У опорі матеріалів при розрахунку статично визначних балок згинальний момент знаходиться методом перерізів. Рівняння

інтегрується двічі:

Константи C 1 (\displaystyle C_(1)), C 2 (\displaystyle C_(2))перебувають із граничних умов, накладених на балку. Так, для консольної балки, зображеної на малюнку:

M x (z) = − P (L − z) (\displaystyle M_(x)(z)=-P(L-z)) θ (z) = − P L z E J x + P z 2 2 E J x + C 1 (\displaystyle \theta(z)=-PL(\frac(z)(EJ_(x)))+P(\frac ( z^(2))(2EJ_(x)))+C_(1)) v (z) = − P L z 2 2 E J x + P z 3 6 E J x + C 1 z + C 2 )))+P(\frac (z^(3))(6EJ_(x)))+C_(1)z+C_(2))

Граничні умови:

Таким чином,

Теорія вигину балок Тимошенко

Ця теорія базується на тих же гіпотезах, що і класична, проте гіпотеза Бернуллі модифікується: передбачається, що перерізи, що були до деформації плоскими та нормальними до осі балки, залишаються плоскими, але перестають бути нормальними до вигнутої осі. Таким чином, дана теорія враховує деформацію зсуву та дотичні напруги. Облік дотичних напруг дуже важливий для розрахунку композитів і деталей з дерева, тому що їх руйнування може відбуватися за рахунок руйнування сполучного при зсуві.

Основні залежності:

де G (\displaystyle G)- модуль зсуву матеріалу балки, F (\displaystyle F)- площа перерізу, α (\displaystyle \alpha)- Коефіцієнт, що враховує нерівномірність розподілу дотичних напруг по перерізу і залежить від його форми. Величина

є кутом зсуву.

Вигин балок на пружній основі

Даною розрахунковою схемою моделюються залізничні рейки, а також кораблі (у першому наближенні).

Пружна основа розглядається як безліч не пов'язаних один з одним пружинок.

Найпростіший метод розрахунку заснований на гіпотезі Вінклера: реакція пружної основи пропорційна прогину в точці і направлена ​​назустріч йому:

P = − k ⋅ v (\displaystyle p=-k\cdot v)

де v (\displaystyle v)- прогин;

P (\displaystyle p)- Реакція (на одиницю довжини балки);

K (\displaystyle k)- Коефіцієнт пропорційності (званий коефіцієнтом ліжка).

При цьому основа вважається двосторонньою, тобто реакція виникає як при вдавлюванні балки в основу, так і за її відриву від основи. Гіпотеза Бернуллі зберігається.

Диференціальне рівняння вигину балки на пружній підставі має вигляд:

D 2 d z 2 (E J x (z) d 2 v d z 2) + k (z) ⋅ v = q (z) (\displaystyle (\frac(d^(2))(dz^(2)))\left (EJ_(x)(z)(\frac (d^(2)v)(dz^(2)))\right)+k(z)\cdot v=q(z))

де v (z) (\displaystyle v(z))- прогин;

E J x (z) (\displaystyle EJ_(x)(z))- згинальна жорсткість (що може бути змінною по довжині);

K (z) (\displaystyle k(z))- Змінний по довжині коефіцієнт ліжка;

Q(z) (\displaystyle q(z))- розподілене навантаження на балку.

При постійній жорсткості та коефіцієнті ліжка рівняння може бути записане у вигляді:

E J x d 4 v d z 4 + k ⋅ v = q (z) )

D 4 v d z 4 + 4 m 4 ⋅ v = q (z) (\displaystyle (\frac (d^(4)v)(dz^(4)))) ))

де зазначено

4 m 4 = k E J x (\displaystyle 4m^(4)=(\frac (k)(EJ_(x))))

Вигин бруса великої кривизни

Для балок, радіус кривизни осі яких ρ 0 (\displaystyle \rho _(0))порівняємо з висотою перерізу h (\displaystyle h), тобто:

H ρ 0 > 0 , 2 (\displaystyle (\frac (h)(\rho _(0)))>0,2)

розподіл напруг по висоті відхиляється від лінійного, а нейтральна лінія не збігається з віссю перерізу (яка проходить через центр тяжкості перерізу). Така розрахункова схема використовується, наприклад, для розрахунку ланок ланцюгів та гаків підйомних кранів.

Файл:Схема вигину бруса великої кривизни.png

Поперечний переріз

Формула для розподілу напруг має вигляд:

σ = M F ⋅ e ⋅ y R + y (\displaystyle \sigma =(\frac(M)(F\cdot e))\cdot (\frac(y)(R+y)))

де M (\displaystyle M)- згинальний момент у перерізі;

R (\displaystyle R)- радіус нейтральної лінії перерізу;

F (\displaystyle F)- Площа перерізу;

E = R 0 − R (\displaystyle e=R_(0)-R)- Ексцентриситет;

Y (\displaystyle y)- координата по висоті перерізу, що відраховується від нейтральної лінії.

Радіус нейтральної лінії визначається за такою формулою:

R = ∫ d F u = ∫ R 1 R 2 b (u) d u u (\displaystyle R=\int (\frac(\,dF)(u))=\int \limits _(R_(1))^( R_(2))(\frac (b(u)\,du)(u)))

Інтеграл береться за площею перерізу, координата u (\displaystyle u)відраховується від центру кривизни. Справедливими є також наближені формули:

E = J x R 0 ⋅ F (\displaystyle e=(\frac (J_(x))(R_(0)\cdot F)))

R 0 = R 0 − J x R 0 ⋅ F (\displaystyle r_(0)=R_(0)-(\frac (J_(x))(R_(0)\cdot F)))

Для перетинів, що часто використовуються, є аналітичні формули. Для прямокутного перерізу заввишки h (\displaystyle h):

R = h ln R 0 + h 2 R 0 − h 2 = h ln R 2 R 1 (\displaystyle R=(\frac (h)(\ln \displaystyle (\frac (R_(0)+(\frac ( h)(2)))(R_(0)-(\frac (h)(2))))))=(\frac (h)(\ln \displaystyle (\frac (R_(2)))(R_ (1)))))))

де R 1 , R 2 (\displaystyle R_(1),R_(2))- радіуси кривизни внутрішньої та зовнішньої поверхні балки відповідно.

Для круглого перерізу:

R = R 0 + R 0 2 - r 2 2 (\displaystyle R=(\frac (R_(0)+(\sqrt (R_(0)^(2)-r^(2))))) ))

де r (\displaystyle r)- Радіус перерізу.

Перевірка міцності балки

У більшості випадків міцність балки визначається за максимальною допустимою напругою:

де σ T (\displaystyle \sigma _(T))- межа плинності матеріалу балки, n T (\displaystyle n_(T))- Коефіцієнт запасу за плинністю. У разі крихких матеріалів:

де σ b (\displaystyle \sigma _(b))- межі міцності матеріалу балки, n b (\displaystyle n_(b))- Коефіцієнт запасу за міцністю.

U = ∑ i = 1 4 C i K i (α z) (\displaystyle u = \ sum _ (i = 1) ^ (4)

де функції Крилова:

K 1 (α z) = 1 2 (ch ? z + cos ? z) (\displaystyle K_(1)(\alpha z)=(\frac (1)(2))(\operatorname (ch) \ alpha z+\cos \alpha z))

K 2 (α z) = 1 2 (sh ? z + sin ? z) (\displaystyle K_(2)(\alpha z)=(\frac (1)(2))(\operatorname (sh) \ alpha z+\sin \alpha z))

K 3 (α z) = 1 2 (ch ? z - cos ? z z) (\displaystyle K_(3)(\alpha z)=(\frac (1)(2))(\operatorname (ch) \ alpha z-\cos \alpha z))

K 4 (α z) = 1 2 (sh ⁡ α z − sin ⁡ α z) (\displaystyle K_(4)(\alpha z)=(\frac (1)(2))(\operatorname (sh) \ alpha z-\sin \alpha z))

а C i (\displaystyle C_(i))- Постійні.

Функції Крилова пов'язані залежностями:

D d z K 1 (α z) = K 4 (α z) (\displaystyle (\frac (d)(dz))K_(1)(\alpha z)=\alpha K_(4)(\alpha z) )

D d z K 2 (α z) = K 1 (α z) (\displaystyle (\frac (d)(dz))K_(2)(\alpha z)=\alpha K_(1)(\alpha z) )

D d z K 3 (α z) = K 2 (α z) (\displaystyle (\frac (d)(dz))K_(3)(\alpha z)=\alpha K_(2)(\alpha z) )

D d z K 4 (α z) = K 3 (α z) (\displaystyle (\frac (d)(dz))K_(4)(\alpha z)=\alpha K_(3)(\alpha z) )

Ці залежності значно спрощують запис граничних умов для балок:

C 1 = u z = 0; C 2 = 1 α (du d z) z = 0 ; C 3 = 1 E J α 2 M z = 0; C 4 = 1 E J α 3 Q z = 0 (\displaystyle C_(1)=u_(z=0); )(dz))\right)_(z=0);C_(3)=(\frac (1)(EJ\alpha ^(2))) frac (1)(EJ\alpha ^(3)))Q_(z=0))

На кожному кінці балки задаються дві граничні умови.

Рівняння власних коливань має безліч рішень. У цьому, практичний інтерес, зазвичай, представляють лише перші кілька їх, відповідні нижчим власним частотам.

Загальна формула для власної частоти має вигляд:

P k = λ k 2 E J m 0 l 4 (\displaystyle p_(k)=\lambda _(k)^(2)(\sqrt (\frac (EJ)(m_(0)l^(4))) ))

Для однопрогонових балок: